極限分析上下限定理基本理論研究

來源：至德鋼業(yè)　日期：2021-07-27 08:19:03　人氣：1074

隨著社會的不斷發(fā)展，結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性已經(jīng)成為現(xiàn)今我們專注的重要課題，都希望可以使材料發(fā)揮更大的潛能，減少資源的消耗。因此，開展結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的塑性極限分析對于加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的安全性和減少成本具有重要的意義和實用價值。

1. 極限分析中的基本理論

極限分析理論從20世紀(jì)發(fā)展至今，已經(jīng)取得了許多成果。其中經(jīng)典的分析理論主要是上、下限定理。

a. 極限分析的下限定理

假設(shè)機(jī)構(gòu)或構(gòu)件滿足平衡方程且處處不違反材料屈服條件的應(yīng)力場稱為靜力容許場，與靜力容許場對應(yīng)的荷載是極限荷載的下限，極限荷載是這些下限解中的最大者。下限定理提出了結(jié)構(gòu)不發(fā)生塑性破壞的充分條件，利用它可以計算極限荷載的下限。

b. 極限分析的上限定理

假設(shè)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件滿足幾何約束條件、能構(gòu)成幾何可變機(jī)構(gòu)且外荷載在其上所作的功率不小于結(jié)構(gòu)內(nèi)部耗散功率的結(jié)構(gòu)位移速率場稱為機(jī)動容許速率場，與機(jī)動容許速率場對應(yīng)的荷載就是極限荷載的上限，極限荷載是這些上限解中的最小者。上限定理提出了結(jié)構(gòu)塑性破壞的充分條件，利用其可以計算極限荷載的上限。

2. 屈服條件

對于任意的結(jié)構(gòu)如果應(yīng)變會隨著應(yīng)力的卸除而消失就稱其為彈性狀態(tài)，若在應(yīng)力卸除之后應(yīng)變不能完全恢復(fù)而存在殘余變形就稱為塑性狀態(tài)。材料進(jìn)入或未進(jìn)人塑性狀態(tài)的分界面我們稱其為屈服面，而屈服面所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就被稱為屈服條件。屈服條件就是材料從彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)時應(yīng)力分量之間所必須滿足的條件。這里主要介紹常用的兩種屈服條件。

a. 最大剪應(yīng)力條件（Tresca屈服條件）

最大剪應(yīng)力條件是1864年法國工程師Tresca在研究中所得出的成果。主要提出了以下假設(shè)：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值k時，材料就會發(fā)生屈服。可以用如下數(shù)學(xué)式表示：

T_max=k （1-5)

在σ₁≥σ₂≥σ₃是可以寫為：

σ₁-σ₂=2k （1-6)

在一般情況下由于主應(yīng)力的次序是未知的，所以一般 Tresca 屈服條件就表示為：

如果是純剪切，則k=r,;而按照Tresca屈服條件，材料的剪切屈服極限與拉伸屈服極限之間存在如下關(guān)系：

Mises 屈服條件是關(guān)于應(yīng)力的函數(shù)，對于主應(yīng)力已知的情況下使用起來極其方便，但它忽略了中間主應(yīng)力的影響，且屈服線上有角點，在數(shù)學(xué)處理時非常困難。

b. Mises 屈服條件

Mises 屈服條件在應(yīng)力空間的屈服面是一個垂直于偏量平面π的圓柱它可以表述為：

3. 塑性流動理論和形變理論

a. 塑性流動理論

塑性和彈性范圍之間的區(qū)別就是應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是否一一對應(yīng)。當(dāng)材料進(jìn)入塑性狀態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線就是非線性的，但在某一給定的狀態(tài)下，若有一個應(yīng)力增量也必然有唯一的應(yīng)變增量，因此，就可以建立起應(yīng)力和應(yīng)變增量之間的關(guān)系，而這種用增量形式表示的材料的本構(gòu)關(guān)系就稱為流動理論即增量理論。表述如下式：

b. 塑性變形理論

變形理論（全量理論）在本質(zhì)上與非彈性變形理論極為相似，都是對廣義Hooke定律的推廣。

全量理論的基本假設(shè)：

c. 增量理論和全量理論的關(guān)系

在簡單加載條件下，全量理論與增量理論的關(guān)系是一致的。增量理論比全量理論復(fù)雜，在數(shù)學(xué)計算時難度較大，但隨著目前計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展及有限元方法的使用，增量理論的使用也是越來越廣泛。本書極限分析部分就是采用以增量理論為基礎(chǔ)的有限元方法確定極限荷載。

d. 簡單加載與復(fù)雜加載

簡單加載又稱比例加載，其特點是當(dāng)荷載增加時，物體內(nèi)每點的應(yīng)力張量均按比例增加，在任一瞬時的各應(yīng)力分量有如下式關(guān)系: